Anmerkungen zu Verteiltparametrischen Systemen in einer Ortsvariablen
Sprache des Vortragstitels:
Deutsch
Original Kurzfassung:
Die hier betrachteten Modelle der schweren Kette sind eindimensionale mechanische Kontinua, die sich in einer Ebene bewegen. Das Kontinuum ist biegeschlaff und lässt keine Dehnung zu. Die Kontinua sind drehbar an einem ortsfesten Punkt bzw. auf einer rotierenden Scheibe montiert. Die Herleitung der Modelle erfolgt auf zwei Arten. Mit Hilfe des Formalismus nach Euler-Lagrange sowie mit Hilfe der mechanischen Grundgesetze. Der Euler-Lagrange-Formalismus ist für konzentriert und verteilt parametrische Systeme wohl eingeführt, da er neben den Bewegungsgleichungen auch Erhaltungsgrößen, die für die Reglersynthese herangezogen werden können, frei mitgeliefert. Wird das mechanische Modell um Zwangsbedingungen erweitert, dann ist oftmals die aus der Optimierungstheorie wohlbekannte Methode der Lagrangemultiplikatoren die erste Wahl. Da in diesem Beitrag nur zeitinvariante Systeme betrachtet werden, werden nur holonome und nicht-holonome Bedingungen betrachtet. Für konzentriert parametrische Modelle ist wohl bekannt, dass man nur die Lagrangefunktion L(q,q) um die holonomen Zwangsbedingungen F(q) mit Hilfe der Lagrangemultiplikatoren ? erweitern muss. Mit Hilfe von L_e kommt man dann schnell zum Ziel. Betrachtet man im nicht-holonomen Fall Beziehungen vom Typ F(q,q)=Z(q) ?q und wählt die vorige Vorgehensweise, dann ist das Ergebnis nicht korrekt im Sinne der Mechanik. Der Grund hierfür ist, dass das im Sinne der Mechanik korrekte Variationsprinzip aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgen muss. Bei dem mechanischen Modell der schweren Kette treten zwar keine Zeitableitungen in den Zwangsbedingungen auf, jedoch aber Ortsableitungen. In diesem Beitrag wird gezeigt, wie man mit Hilfe der mechanischen Grundgleichungen und mit dem Euler-Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichungen herleitet und zu einer Darstellung in Minimalkoordinatenform gelangt. Für Letzteres ist der Einsatz von Computeralgebra sehr hilfreich.